Nature d'un triangle (1) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points $\text{A}(2),\text{B}(4-i)$  et  $C(4+i)$ .

1. Les droites $(\text{A}\text{B})$ et $(\text{A}\text{C})$ sont-elles perpendiculaires ?

2. Quelle est la nature du triangle $\text{A}\text{B}\text{C}$ ?

Solution
1.  ${\displaystyle \frac{z_{\text{C}}-z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}-z_{\text{A}}}}={\displaystyle \frac{4+i-2}{4-i-2}}={\displaystyle \frac{2+i}{2-i}}={\displaystyle \frac{(2+i)(2+i)}{5}}={\displaystyle \frac{4+2i+2i-1}{5}}={\displaystyle \frac{3+4i}{5}}$
qui n'est pas un nombre imaginaire pur, donc les droites $(\text{A}\text{B})$ et $(\text{A}\text{C})$ ne sont pas perpendiculaires.

2. On a :  $\left|{\displaystyle \frac{z_{\text{C}}-z_{\text{A}}}{z_{\text{B}}-z_{\text{A}}}}\right|={\displaystyle \frac{|3+4i|}{\left|5\right|}}={\displaystyle \frac{5}{5}}=1$
Donc le triangle $\text{A}\text{B}\text{C}$ est isocèle en $A$ .