Nature d'un triangle (1) - Corrigé

Énoncé

Dans le plan complexe, on considère les points \(\text A(2) , \text B(4-i)\)  et  \(C(4+i)\) .

1. Les droites \((\text A\text B)\) et \((\text A\text C)\) sont-elles perpendiculaires ?

2. Quelle est la nature du triangle \(\text A\text B\text C\) ?

Solution
1.  \(\dfrac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} = \dfrac{4+i-2}{4-i-2}= \dfrac{2+i}{2-i} = \dfrac{(2+i)(2+i)}{5}= \dfrac{4+2i +2i -1}{5}= \dfrac{3+4i}{5}\)
qui n'est pas un nombre imaginaire pur, donc les droites \((\text A\text B)\) et \((\text A\text C)\) ne sont pas perpendiculaires.

2. On a :  \(\left\vert \dfrac{z_\text C - z_\text A}{z_\text B - z_\text A} \right\vert = \dfrac{\left\vert 3+4i \right\vert}{\left\vert 5 \right\vert} = \dfrac{5}{5} = 1\)
Donc le triangle \(\text A\text B\text C\) est isocèle en \(A\) .